Experimentos con pompas de jabón (2014)

A partir de una serie de experimentos realizados con distintas estructuras de alambre introducidos en agua jabonosa, vamos planteando cuestiones geométricas sencillas de entender como el problema isoperimétrico o el de hallar superficies con área mínima. Las diferentes formas geométricas producidas son superficies visualmente atractivas que encierran problemas matemáticos más profundos. El objetivo del taller es aproximarnos a estos objetos geométricos y a llegar entender las matemáticas que llevan aparejados.

Preparamos una mezcla de agua y jabón, tomamos una pajita y sumergimos un extremo en el líquido. Cuando la sacamos y soplamos por el otro extremo, obtenemos burbujas y pompas de jabón. Estas burbujas son redondas. Además, si dos pompas se tocan y se pegan una a otra, se crea otra pompa que de nuevo está formada por dos trozos de esferas. Del mismo modo, cuando en un vaso de aceite depositamos una gota de agua, observamos que la gota adopta inmediatamente forma esférica. ¿porqué es la esfera la forma geométrica que adoptan las anteriores configuraciones? ¿cuál es la causa por la que adoptan la forma esférica y no otra? ¿puede darse un modelo matemático que explique dichos fenómenos? a partir de estos modelos ¿es posible predecir lo que sucederá en los experimentos?
El principio físico que hay detrás de estas formas geométricas es la tendencia de cualquier sistema mecánico a buscar un estado de menor energía. En una película jabonosa, esta energía es la tensión superficial y es proporcional a su área, de modo que al estirar la película, se necesita más energía. Por tanto, una película de jabón, o cualquier estructura jabonosa apoyada en una estructura de alambre, busca la forma geométrica que minimiza su área superficial.
En este tipo de situaciones, la esfera, o trozos de ella, son soluciones de dichos problemas físicos.  De forma más general, la esfera y la circunferencia son las formas geométricas más simétricas de la Naturaleza. Ambas son las soluciones de un problema de “diseño óptimo”, de mínima energía. Así, si consideramos todas las superficies que encierran un mismo volumen y nos preguntamos por aquella superficie que tenga menor área, la solución es la esfera. En matemáticas este tipo de problemas se llaman isoperimétricos (“iso” = igual, “perímetrico” = contorno).
Las matemáticas que hay detrás de las películas y burbujas de jabón son complejas. Minimizar áreas se corresponde a resolver ecuaciones matemáticas extremadamente complicadas. En general, estas formas geométricas vienen caracterizadas porque son superficies que poseen curvatura constante. Estas superficies van más allá de rectas y planos, y todas ellas son atractivas visualmente, como son las siguientes:

Las actividades a realizar en el taller son la presentación de una serie de experimentos con burbujas de jabón construidas a partir de estructuras de alambre. Con cada uno de estos experimentos nos plantearemos cuestiones matemáticas relacionadas con la geometría de las formas obtenidas. Intentaremos aproximarnos a estos problemas matemáticos apoyándonos en los experimentos realizados y sin apenas conocimientos previos. Esta actividad se ha diseñado para alumnos de ESO y bachillerato.

Organiza: Departamento de Geometría y Topología.
Profesorado: Rafael López Camino